Powered by Joomla CMS.

Аффин алмаштиришларнинг чизма геометрияда қўлланиши

on Juma, 20 Dekabr 2013. Posted in Tabiiy ilmiy fanlar

Таянч сўзлар: аффин мослик, аффин алмаштириш, топографик чизмачилик, чизиқли сиртлар

Ключевые слова: аффинное преобразованые, топографическое черчение, линейчатые поверхности.

Keywords: affine transformation, topographical drawing, ruled surfaces.

Мақолада  чизма геометрияда,топографик чизмачиликда аффин алмаштиришларни қўллаш ёритилган.

В статье рассматривается возможность применения методов аффинных преобразований в курсе начертательной геометрии при решении задач.

In article is considered possibility of the using the methods of affin transformations in course of the descriptive geometry at the decision of problems.

Президентимиз 2012 йилда мамлакатимизни ижтимоий-иқтисодий ривожлантириш якунлари ҳамда 2013 йилга мўлжалланган иқгисодий дастурнинг энг муҳим устувор йўналишларига бағишланган Вазирлар Маҳкамасининг мажлисидаги маърузасида ҳам таълим соҳаси ва келажак авлод тарбиясига алоҳида тўхталиб ўтди. Дарҳақиқат, 2012 йилда Давлатимиз раҳбари томонидан Кадрлар тайёрлаш миллий дастурининг учинчи босқичи — таълим сифатини оширишга қаратилган қатор фармон ва қарорлар қабул қилинди. Олий ўқув юртлари фаолияти баҳоланадиган мезонларни шакллантиришда олий ўкув юртларидаги ўқитиш сифати ва илмий сапоҳият даражаси индексига асосий эътибор қаратилади.[1]

Чизма геометриянинг  кўпгина масалалари  ечими нафақат тўғридан – тўғри, балки  аффин ўзгаришлар хоссаларига ҳам  асосланиб бажарилади ва қуйида шуни моҳияти тушунтирилади.

П текисликнинг нуқталарини S йўналишда П1 текисликка проекциялаймиз. (1-расм)

 

1-расм

 

Унда ҳар иккала текисликларнинг нуқталар майдонларининг параллел проекциялаш хоссаларига эга бўлган ўзаро алоқаси ўргатилади. Сўнгра бир текисликни  Р  атрофида айлантириб, уларни жипслаштирамиз П ва П1 текисликларни жипслаштирилгандан сўнг бир текисликни икки текис майдонлари орасида мослик ўрнатилади.

Бу мослик аффин ўзгариш (мослик) дейилади. Параллел проекциялашнинг инвариант хоссалари бу ўзгаришга ҳам тегишли.

 

 

2-расм                                  3-расм

Р тўғри чизиқ ҳозирги ҳолатда ўқ ҳисобланади. Текисликни икки йўналиш бўйича айлантириш имконияти мавжуд ва фигуралар ўқдан икки (2-расм) ва бир (3-расм) томонга жойлашиши мумкин. Нуқталарни туташтирувчи тўғри чизиқлар ўзаро параллел. Бундай мослик ўқ ва бир жуфт нуқталарни бериш орқали ўрнитилиши мумкин.

Агар мослик ўқи Р ва бир жуфт А ва А1 берилган бўса (3-расм) ихтиёрий В нуқтани бериш унга мос В1 нуқтани  қуриш мумкин. Бунинг учун А ва В нуқталарни L тўғри чизиқ орқали туташтирамиз, ва ўқ  (Р) билан кесишгунча давом этирамиз. L нуқта Р ўқ устида бўлгани учун унга мос (L) нуқта бурчакнинг ўзида бўлади L= L1 L1 нуқтани В1 билан туташтириб L1 чизиқнитопамиз. Энди В  дан  мослик йўналишига (АА1) параллел ёрдамчи чизиқ чиқариб, L чизиқ билан кесисиш нуқтаси В1 ни топамиз. Шунингдек С туқтага мос С1 нуқтанинг ясалиши ҳам кўрсатилган. Асосий чизиқда АВС учбурчакка мос А1 В1 С1 ҳам чизиб кўрсатилган бундай конфигурация  масалаларни ечишда кўп ҳолларда қўлланилади. Учбурчакнинг мос томонлари (Р) ўқ устида кесишишини белгилаб қўямиз. [2]

Топографик чизмачиликдан қуйидаги мисолда аффин мосликлар қўлланганлигини кўрсатамиз.

Шарти: Берилган тасвирнинг тўлиқ – тўлиқмаслиги ва берилган текислик билан кесишиш чизиғи аниқлансин.

Ишни бажариш тартиби:

Чизмада асoси П текисликда жoйлашган oғма цилиндр ва А нуқтаси цилиндр сиртида ётган ва Рҳ изи билан Р текислик берилган.

 

4-расм

 

Тoпшириқни бажариш учун тасвир тўлиқ ёки тўлиқ эмаслигини текшириш зарур. Цилиндрнинг П текисликдаги ( иккиламчи ) прoекцияси берилган бўлса, тасвир тўлиқ бўлади. А нуқтанинг цилиндр ясoвчисига параллел йўналишдаги иккиламчи прoекцияси цилиндрнинг oстки асoсида бўлади ва а нуқта деб белгилаймиз.

Р текисликнинг иккиламчи прoекцияси эса Р нинг ўзида бўлади. Демак берилган тасвир тўлиқ экан. Р текисликнинг цилиндр билан кесишиш чизиғининг иккиламчи прoекцияси ҳам силидрнинг асoси бўлади. Р текисликнинг А ва а нуқталар oрқали иxтиёрий текислик ўтказамиз. Унда Р текисликнинг изини ўтказган текислигимиз а1 нуқтада, ўзини эса Аа1 чизиқ бўйича, асoсий текисликни аа1 ва цилиндрни Аа1 бўйича кесиб ўтади.

Цилиндрнинг иккиламчи прoекциясига уринма ўтказамиз.

Уринмани аа1 йўналишига параллел қилиб ўтказамиз. Унда b1 нуқтадан цилиндр ясoвчига параллел ўтказилган чизиқ билан b1 нуқтадан Аа1 йўналишига параллел ўтказилган чизиқларнинг кесишиши кесим юзасига тегишли В нуқтани аниқлайди. Шу тартибда ўтказилган бир неча текислик кесим юзасига тегишли нуқталарни ва уларнинг кесим юзасини аниқлайди.

4 - расмда намуна сифатида цилиндр сирти билан текисликнинг кесишиш чизиғини аниқлаш кўрсатилган. [3]

Аффин мослик шунингдек қуйидаги берилиши мумкин : а) икки жуфт кесишувчи тўғри чизиқлар орқали; б) бир жуфт ва бир жуфт нуқталар тўғри чизиқлар орқали; в) 3 жуфт мос нуқталар орқали.

 

5-расм                                           6-расм

 

Бу усуллар кўриб чиқилган усулга келтирилади. Бунинг учун мослик ўқи (Р) ни топиш зарур бўлади, мослик йўналиши ҳамма ҳолатлари учун аниқланган.

Айланага турдош фигура бу эллиписдир. Мослик ўзгаришнинг инвариантларидан фойдаланиб, 1) эллипис симметрия марказига эга

эканлигини 2) Эллиписда шундай диаметрлар  мавжудки, улар иккинчи диаметрга параллел хордаларни тенг 2 га  бўлади. 3) эллиписга уринма (бирта диаметр охиридаги G дан ўтувчи) 2-диаметрга параллел бўлади.

Эллипснинг бу хоссаларини 6-расмда осонгина аниқлаш мумкин. Бу турдошликда асосий йўналишларини аниқласак, у ҳолда  эллиписнинг ўқлари А1 В1 ва С1 D1 айлананинг ўзаро перпендикуляр АВ ва СD диаметрларига турдош кесмалар сифатида аниқланади.

Эллипс билан боғлиқ бўлган кўпгина масалаларни қардош алмаштириш мумкин.

 

6-расм

 

Ўзаро перпендикуляр АВ ва СD ўқлари орқали берилган эллипсга М нуқтадан уринма ўтказилиш талаб этилади. (6-расм), унда эллипс қурмасдан туриб ҳам уринмани ўтказиш мумкин. Бунинг учун АВ кесмани диаметри деб олиб айлана қурамиз ва АВ тўғри чизиқни қардош айлмаштириш ўқи (Р) деб қабул қиламиз. Турдош алмаштириш ўрнатилди.

АВСD нуқталарга А111 , D1 мос келади.кейин М1 нуқтани кўрамиз. Унда мос нуқта М ва у орқали L1 ва L2 ўтказамиз, улар айланага уринма бўлиб ўтади. Уларга турдош t1 ва t2 лар изланган уринмалар бўлади. t1 ва t2 нуқталарда.бу намунада кўриниб турибдики барча ясашлар тўғри чизиқ ва циркул ёрдамида эллипсни чизмасдан бажарилди. Бундай ечим оддий ва етарлича аниқликка эгадир.

Чизиқли сиртларнинг ўзаро кесишув чизинши умумий вазиятдаги ёрдамчи текнеликлар воситаси билан ясаш мумкин ва сирт асоси жойлашган проекция текислиги билан кесувчи текислик ўзаро аффин мосликда бўлади. .

Агар ўзаро кесишувчи чизикли сиртлар проекция текисликларига нисбатан умумий вазиятда жойлашган бўлса, бундай сиртларнинг кесишув чизиғига оид нуқталарни сиртларнинг ясовчилари бўйича кесадиган умумий вазиятдаги ёрдамчи текисликлар воситаси билан топиш қулай.

1. Икки конус сиртнингўзаро кесншуви. Бундан фойдаланиб, конус билан пирамиданинг ва пирамида билан пирамиданинг ўзаро кесишув чизиқларини хам ясаш мумкин.

Агар кесувчи текислик конуснинг учидан ўтган бўлса, конусни ясовчилари бўйича кесади. Демак, иккала конуснинг ясовчиларибўйича кесадиган ёрдамчи текисликлар шу конусларнинг учларидан ўтган бўлиши лозим.

7 - расмдаги яққол тасвирда асослари билан Н текиеликда турган икки конуснинг ўзаро кесишуви кўрсатилган.

 

7 - расм

 

Кесишув чизиғини ясаш учун конусларнинг учларини бир-бирига туташтирамиз, ҳосил бўлган SТ тўғри чизиқнинг Н текисликдаги изи — М нуқтани топамиз. М нуқта орқали H текисликда иккита тўғри чизиқ чизамиз. Улардан бири Qя, масалан, биринчи конуснинг асосига уринма ва иккинчи конуснинг асосини кесувчи, иккинчиси Nн эса иккинчи конуснинг асосига уринма ва биринчи конуснинг асосини кесувчи бўлиши керак. Хусусий ҳолларда бу Qя ва Nн чизиқлардан бири ёки иккаласи иккала конуснинг асосларига ҳам уринма бўлиши мумкин.

Шундай қилиб, ҳосил бўлган билан Qн ва билан Nн кесишувчи чизиқлар энг четдаги ёрдамчи текисликларни ифодалайди. Qн ва Nн уларнинг Н текисликдаги изларидир. Q текислик I конуснинг сиртига АS ясовчиси бўйича уринма бўлиб, II конуснинг сиртини А1Т ва А2Т ясовчилари бўйича кесади. Бу ясовчилар ўзаро кесишиб, изланган кесишув чизиғига оид 1 ва 2 нуқталарни беради. N текислик II конусга В2Т ясовчиси бўйича уринма бўлнб, I конуснинг сиртини ВS, В1 S ясовчилари бўйича кесади-да, 3 ва 4 нуқталарни беради. [4]

Хулоса қилиб айтганда, таълим соҳасида ҳар бир олдинга қўйилган қадам талабалар ўзлаштириши  ва таълим сифатига ижобий таъсир қилади деб умид билдирамиз.

 

Адабиётлар

  1. Каримов И.А. 2012 йил мамлакатимизни ижтимоий-иқтисодий ривожлантириш якунлари.
  2. Қори – ниёзий Т.Н. Аналитик геометрия, Т., “Фан”, 1962.
  3. Бадиев М., Маматов Д. Топографик чизмачилик, (Ўқув қўлланма), Бухоро, 2009.
  4. Хорунов Р. Чизма геометрия курси, Тошкент, “Ўқитувчи”, 1974.

Муаллифлар: М. Бадиев – Бух ДУ Чизма геометрия ва чизмачилик кафедраси доценти

Д. Маматов –  Бух ДУ Чизма геометрия ва чизмачилик кафедраси ўқитувчиси

А. Аминов –  Бух ДУ Чизма геометрия ва чизмачилик кафедраси ўқитувчиси

Izohlar (0)

Leave a comment

You are commenting as guest.